数学の関数極限の問題を教えてください。 lim x→∞ (1+2/x)^x の答えが

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数学の関数極限の問題を教えてください。 lim x→∞ (1+2/x)^x の答えが

2024-07-10 06:02:35| 来源: 网络整理| 查看: 265

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気になる 0件 質問者:ねそゆてそなて 質問日時:2020/10/15 12:11 回答数:5件

数学の関数極限の問題を教えてください。 lim x→∞ (1+2/x)^x の答えがe^2(x=2tとおく)とかいてありますがどういうことでしょうか?

lim x→1 √3x^2+1 -2x/x-1も教えて欲しいです。ルートは3x^2+1までです。

  補足日時:2020/10/15 14:14 通報する 通報する

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A 回答 (5件)

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No.5ベストアンサー

回答者: varietyknowledge 回答日時:2020/10/15 23:24 途中の符号を間違えていたので、一部訂正。 (答えは変わらない) =lim[φ→0] (√3 - sinφ - √3cosφ)/2sinφ ←ここまでは同じ =lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)(1-cosφ)/sinφ =lim[φ→0] -1/2 + (√3/2){(1-cosφ)(1+cosφ)/sinφ(1+cosφ)} =lim[φ→0] -1/2 + (√3/2){(1-(cosφ)^2)/sinφ(1+cosφ)} =lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)(sinφ)^2/sinφ(1+cosφ)} =lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)sinφ/(1+cosφ) =-1/2 0 件 通報する

No.4

回答者: varietyknowledge 回答日時:2020/10/15 23:20 指数法則で、a^(b×c)=(a^b)^c=(a^c)^bというのがある。 これを利用して、変数置換を行う。 t=x/2とすると、x→∞はt→∞になる。 lim[x→∞](1 + 2/x)^x =lim[x→∞](1 + 2/x)^(x/2 × 2) =lim[x→∞]((1 + 2/x)^(x/2))^2 =lim[t→∞]((1 + 1/t)^t)^2 =e^2 lim x→1 √3x^2+1 -2x/x-1については、 lim[x→1] √(3x^2 + 1) - 2x/(x-1)であれば、発散する。 lim[x→1] (√(3x^2 + 1) - 2x)/(x-1)であれば、収束する。 (かなり手間だけどね) x=(1/√3)tanθとすると、x→1はθ→π/3となる。 lim[x→1] (√(3x^2 + 1) - 2x)/(x-1) =lim[θ→π/3] (√((tanθ)^2 + 1) - (2√3)tanθ)/((1/√3)tanθ - 1) =lim[θ→π/3] (1/cosθ - (2√3)(sinθ/cosθ))/((1/√3)(sinθ/cosθ) - 1) =lim[θ→π/3] (1-(2√3)sinθ)/((1/√3)sinθ-cosθ) =lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/(sinθ-√3cosθ) =lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2((1/2)sinθ-(√3/2)cosθ) =lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2(sinθcos(π/3)-cosθsin(π/3)) =lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2sin(θ-(π/3)) φ=θ-(π/3)とすると、θ→π/3はφ→0となる。 =lim[φ→0] (√3 - 2sin(φ+(π/3))/2sinφ =lim[φ→0] (√3 - 2sinφcos(π/3) - 2cosφsin(π/3))/2sinφ =lim[φ→0] (√3 - sinφ - √3cosφ)/2sinφ =lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)(1-cosφ)/sinφ =lim[φ→0] -1/2 - (√3/2){(1-cosφ)(1+cosφ)/sinφ(1+cosφ)} =lim[φ→0] -1/2 - (√3/2){(1-(cosφ)^2)/sinφ(1+cosφ)} =lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)(sinφ)^2/sinφ(1+cosφ)} =lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)sinφ/(1+cosφ) =-1/2 0 件 通報する

No.3

回答者: konjii 回答日時:2020/10/15 16:57 lim x→1 √(3x^2+1) -2x/(x-1) x1から1になった時 lim x→1 2 -∞=-∞ 0 件 通報する この回答へのお礼

答えを見ると-1/2となってるんですがどうしてでしょう?

通報する お礼日時:2020/10/15 17:44

No.2

回答者: masterkoto 回答日時:2020/10/15 13:18 x=2tとおいて、eの定義を利用します 0 件 通報する

No.1

回答者: konjii 回答日時:2020/10/15 13:18 lim x→∞ (1+2/x)^x、x=2tとおくと lim t→∞ (1+1/t)^2t=lim t→∞[ (1+1/t)^t]^2 lim t→∞[ (1+1/t)^t]=eだから lim t→∞[ (1+1/t)^t]^2=e^2 また、lim x→∞ (1+3/x)^x、x=3tとおくと答えがe^3 lim x→∞ (1+e/x)^x、x=etとおくと答えがe^e 2 件 通報する

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